2016考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)不得不知的"四大"考點

　　【摘要】在考研數(shù)學(xué)考試中關(guān)于線性代數(shù)的部分里，有關(guān)矩陣的秩、特征值與特征向量、線性方程組求解和二次型標準化與正定判斷這四大考點，是大家一定要復(fù)習(xí)好的內(nèi)容?？佳胁蛔?00天，專業(yè)課如何提升一個level ？了解更多猛戳

　　
　　線性代數(shù)占考研數(shù)學(xué)總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式出現(xiàn)。雖然線性代數(shù)的考點眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進行重點題型重點突破。

　　?矩陣的秩
　　矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數(shù)的重點內(nèi)容，熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容，利用其來解決實際應(yīng)用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c。矩陣由那么多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩！
　　通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區(qū)別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握，對含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎(chǔ)上，聯(lián)系地看問題，及時總結(jié)結(jié)論。

　　?矩陣的特征值與特征向量
　　矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標準化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點。對于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量（例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特征值，元素均為1的列向量是其對應(yīng)的特征向量），會處理含參數(shù)的情況。

　　?線性方程組求解
　　對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點，對方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數(shù)學(xué)二為22題)，已知三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)！而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個不同的解"這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù)；非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了。

　　?二次型標準化與正定判斷
　　二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運算中節(jié)省時間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個矩陣是否屬于這個特殊類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

　　以上四個考點可以說是考試的重點考查對象，同學(xué)們可以根據(jù)自己的實際情況圍繞重點題型針對復(fù)習(xí)。只要攻克這些重難點，相信考研數(shù)學(xué)就會變得so easy！

　　（實習(xí)編輯：趙峰）