2018考研數(shù)學(xué)：曲面積分的解決方法

　　摘要：曲面積分一直是考研數(shù)學(xué)中的重中之重，而且常年用于命制大題，綜合題的經(jīng)典考點(diǎn)，更加是作為高等數(shù)學(xué)壓軸部分，用于考研數(shù)學(xué)拔高，本文分享了一些曲面積分的解決辦法，希望可以對你有益。

　　為什么曲面積分這么重要呢，因?yàn)橐话銇碚f從線到面的過渡過程，就可以給出一個(gè)維數(shù)持續(xù)升高時(shí)研究物體測度和其它典型性質(zhì)的途徑和方法。針對考研數(shù)學(xué)來說，曲面積分相關(guān)的題目是有技巧和典型方法的，下面文都老師就帶你總結(jié)一下解曲面積分相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)該了解的事情。

　　★曲面積分與一般二重積分的區(qū)別與聯(lián)系

　　二重積分不算是多元函數(shù)微積分的難點(diǎn)，因?yàn)樗?jì)算方法固定，幾何意義很清晰，只是普通面積元素附帶給定密度的組合。而從形式上看起來，曲面積分和二重積分相當(dāng)類似，但是前者無論是計(jì)算難度，還是幾何意義上的清晰度，都要顯得更為復(fù)雜，這是為什么呢？

　　其實(shí)這是由于二重積分本身是在x-y平面上考慮的，而曲面積分的作用區(qū)域是一個(gè)曲面，兩者的曲率差異造成了它們計(jì)算方法和復(fù)雜程度之間的顯著差距。

　　但是兩者之間的聯(lián)系也很明顯，通過一些技巧和變換，如果能夠成功將曲面積分變成平面意義下的二重積分或者三重積分，就可以很容易計(jì)算出問題的答案。所以解決曲面積分問題的一個(gè)最為方便的途徑，就是化曲面為平面，變換參數(shù)從而將原問題轉(zhuǎn)化為普通積分。這樣就能使得原來非常復(fù)雜的問題變成了一個(gè)可以用簡單方法解決的問題。

　　那么一般情況下，應(yīng)該如何化曲為直呢？在這一部分就給大家?guī)追N轉(zhuǎn)換途徑做一個(gè)歸納。為了方便起見，我們暫時(shí)不考慮曲面的定向。

　　（1）利用單變元轉(zhuǎn)為其余變元函數(shù)的參數(shù)方程

　　（2）利用經(jīng)典參數(shù)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化

　　較為經(jīng)典的參數(shù)方程有三個(gè)參量的球坐標(biāo)，柱坐標(biāo)和廣義球坐標(biāo)，廣義柱坐標(biāo)等等。當(dāng)然也可以考慮普通的仿射變換。在選取適當(dāng)經(jīng)典參數(shù)方程時(shí)，需要的依據(jù)是給定曲面的特點(diǎn)。如果能夠選擇到合適的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方式，很多復(fù)雜的曲面積分都可以迎刃而解，變成非常常規(guī)的普通積分題目。相反地，如果選取了一個(gè)不大合適的參數(shù)，即使最后可以做出結(jié)果，需要的時(shí)間也會變長，影響其它部分的考試效果。

　　一個(gè)選方程的經(jīng)驗(yàn)是，如果給定的曲面是旋轉(zhuǎn)曲面，而且是球面的一部分，那么一般來說球變換是比較好的選擇。如果給定的曲面是柱面的一部分（直紋面），那么一般來說柱變換往往可以解決問題。如果給定曲面本身就是一個(gè)空間的平面，那么仿射變換是常用選擇。

　　（3）對稱型曲面積分的特別處理方法

　　較為復(fù)雜的曲面積分計(jì)算非常令人頭疼，但是如果恰好給出的曲面積分具有某種意義下的對稱性，那么問題就會變得相對容易。比如，給出的被積函數(shù)關(guān)于

　　有些時(shí)候，給定的曲面積分中被積函數(shù)恰好為1，那么此時(shí)曲面積分的幾何意義就是，給定曲面的面積。這種曲面積分在進(jìn)行處理和計(jì)算的時(shí)候，與我在前面提到的幾種經(jīng)典方法并沒有本質(zhì)曲面，主要思想依舊是依賴適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)和參數(shù)選擇化曲為直，再按照一般積分的方法去處理。

　　特別值得一提的是，有些時(shí)候題目要求大家求一些曲面的面積，除了考慮用旋轉(zhuǎn)體面積公式之外，曲面積分的方法也是值得考慮的，因?yàn)檫@樣會顯得更為自然和直觀，而且不用刻意去記憶稍顯復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)體面積公式。

　　（4）高斯公式

　　高斯公式是解決曲面積分問題的有力工具之一，它按照封閉曲面曲面直接過渡為三重積分的方式處理曲面積分，但是需要大家注意的是，如果給定的曲面不封閉，則需要添加一些部分使它封閉，再將得到的減去給出部分帶來的影響。第二點(diǎn)就是需要考慮定向，這些都寫在教科書和一般復(fù)習(xí)材料里，我在這里不再贅述。需要問的一個(gè)問題是，這樣做的本質(zhì)原因是什么？為什么可以將封閉的曲面積分直接轉(zhuǎn)化為三重積分？而根據(jù)斯托克斯公式，封閉曲線的積分也可以看成是曲面積分，這樣做的合理性是如何保證的？

　　想回答這些問題，需要更為抽象和高深的數(shù)學(xué)知識。

　?。▽?shí)習(xí)小編：大可）