干貨：2021考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)各章復(fù)習(xí)要點(diǎn)及命題特點(diǎn)(六)

　　摘要：二次型及其對(duì)稱矩陣在數(shù)學(xué)理論、數(shù)值計(jì)算及工業(yè)應(yīng)用中都占有重要地位。這部分內(nèi)容主要給出了二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的定義、性質(zhì)及將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，討論了二次型的慣性定律和二次型正定的分類和判定，得出了二次型正定性和正定矩陣的判定方法。二次型在最近幾年內(nèi)考查的頻率比較高，下面幫幫就這一部分內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)。

　　二次型的考試內(nèi)容：

　　二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣，二次型的秩，慣性定理，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，二次型及其矩陣的正定性。

　　二次型的考生要求：

　　1.掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念，了解合同變換與合同矩陣的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理。

　　2.掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

　　3.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。

　　二次型部分考查的能力有：

　　

　　3.了解合同變換與合同矩陣的概念，注意矩陣合同、相似、等價(jià)的區(qū)別。

　　4.理二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念，重點(diǎn)掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和會(huì)用配方法化二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。注意標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形的區(qū)別，規(guī)范形是唯一的，標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的。

　　5.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。要求考生具有正確判定二次型正定性的能力。

　　二次型?？嫉念}型主要有：

　　1.二次型標(biāo)準(zhǔn)型的考查。

　　(1)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形或用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣;

　　(2)已知二次型的標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形，求二次型中的未知參數(shù);

　　2.判別(證明)二次型(實(shí)對(duì)稱矩陣)的正定性;

　　(1)判別二次型或其矩陣的正定性;

　　(1)確定參數(shù)值使二次型或其矩陣正定;

　　3.合同矩陣與合同變換

　　(1)判別(證明)兩實(shí)對(duì)稱矩陣合同;

　　(2)討論兩矩陣相似與合同的關(guān)系;

　　二次型是考試考查的重點(diǎn)，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該給予足夠的重視。

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